a= k₁ ´ d(a) et b= k₂ ´ d(a)

On a alors : d(a) = a² – b² p = k₁² ´ d²(a) – k₂² ´ d²(a) ´ p =d²(a) (k₁² – k₂² p)

D’où  , en posant m = k₁² – k₂² p : d(a) =d²(a) ´ m

Puis en divisant par  d(a) : 1 =d(a) ´ m . Autrement dit il faut que : d(a) | 1 Donc :

Conclusion :

Propriété - 3:

Démonstration - 3:

(i) : 1 Î I donc I ¹ Æ .

(ii)  : Pour a Î I et b Î I : D’après (p7), (p9) et (p11):

|d(a b^-1)| = |d(a) d(b^-1)| = |d(a)| |d(d(b)b )| = |d(a)| d²(b) |d(b )| = 1

Donc a b^-1 Î I C.Q.F.D.