- 7 : D’après (p6)  : d(a×b) = (a×b)×a×b D’après (p5)  : a×b = a×b

on a alors  : d(a×b) = a×b×a×b = a×a×b×b

Donc d’après encore (p6)  : d(a×b) = d(a) d(b) . (p7) est donc établie.

- 8 : Raisonnons par l’absurde : Comme d(a) = a² - b² p :

à la condition [1] . Alors :  d(a) ¹ 0 (p8) est donc établie.

(p9) est donc établie.

- 10 : D’après la définition (p10) est immédiate.

- 11 : D’après (p7) :d(c.a) = d(c) × d(a) = c² d(a) (p11) est donc établie.