ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Sujets :

Etude des équations différentielles de type :

(E) y’ = a y ⁿ a Î R et n Î Q

On notera R l’ensemble des nombres réels et Q celui des rationnels.

Et exp(x) est la fonction exponentielle.

Etude :

Utilisons la méthode de la séparation des variables :

(E) Û dy = dx a y ⁿ Û y ^{– n} dy = a dx

1^er cas : n ¹ 1

Comme d’autre part a dx a pour primitives les fonctions  ax + k :

Conclusion - 1 :

Quand n ¹1, les solutions de (E) sont de la forme :

2^ème cas : n = 1

La fonction exp(ax) , ayant pour dérivée a exp(ax) , répond à la question.

Conclusion - 2 :

Pour (E) y’ = a y a Î R les solutions ont la forme :

y = k exp(ax) , k Î R.

Exemples :