ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Sujets :

Etude des équations différentielles de type :

y’ = a y (E₁) et y’’ + by’ + cy = 0 (E₂)

On notera R l’ensemble des nombres réels et C celui des nombre complexes.

Re(z) et conj(z) sont respectivement la partie réelle et le conjugué du complexe z.

Et exp(x) est la fonction exponentielle.

Etude - 1 :

y’ = a y où a Î R (E₁)

Propriété :

y₀ = exp(ax) est solution de (E₁).

Démonstration :

Si y₀ = exp(ax) alors y₀’ = a exp(ax) = a y₀ C.Q.F.D.

Recherche :

Soit y une solution de (E₁).

On a alors : y = f y₀ (1) et y’ = f ’ y₀ + f y₀’

y solution de (E₁) Û f ’ y₀ + f y₀’ = a f y₀

Et comme y₀’ = a y₀ :

y solution de (E₁) Û f ’ y₀ + a f y₀ = a f y₀ Û f ’ y₀ = 0

D’après (1) on a alors : y = f y₀ = k exp(ax)

Conclusion - 1 :

Les solutions de l’équation y’ = a y où a Î R.

sont de la forme : y = k exp(ax) , k Î R.

Exemple - 1 :

(E₁) : y’ = 5y Fonctions solutions : y = k exp(5x) , k Î R.