Conclusion - 4 :

Si b² – 4c < 0, les solutions de l’équation

y’’ + by’ + cy = 0 où b Î R et c Î R

sont de la forme : y = exp(ax) [l cosqx + m sinqx] , l Î R et m Î R.

où a + i q et a – i q sont les racines complexes conjuguées de l’équation : r² + b r + c = 0

Exemple - 2 :

Equation de type (E₂) : y’’ + y’ – 6 = 0

Fonctions solutions : y = k₂ exp(2 x) + k₁ exp(–3 x) , k₁ Î R et k₂ Î R.

Exemple - 3 :

Equation de type (E₂) : y’’ – 6 y’ + 9 = 0

Fonctions solutions : y = (k₁ x + k₂) exp(3 x) , k₁ Î R et k₂ Î R.

Exemple - 4 :

Equation de type (E₂) : y’’ – 6 y’ + 13 = 0

Fonctions solutions : y = exp(3x) [l cos2x + m sin2x] , l Î R et m Î R.