2 ème cas : D = 0

Remarque : On a : 2 b + r₀ = 0 (4).

Par des calculs analogues à ceux du 1 er cas on obtient :

y solution de (E₂) Û f (r₀² + b r₀ + c) + f ’’ + (2 r₀ + b) f ’ = 0

Et comme r₀ est solution de (2) :

y solution de (E₂) Û f ’’ = – (2 r₀ + b) f ’

Et d’après la remarque (4) y solution de (E₂) Û f ’’ = 0

On a alors f ’ = k₁ puis f = k₁ x + k₂

Et par suite y = f exp(r₀ x) = (k₁ x + k₂) exp(r₀ x)

Conclusion - 3 :

Si b² – 4c = 0, les solutions de l’équation

y’’ + by’ + cy = 0 où b Î R et c Î R

sont de la forme   : y = (k₁ x + k₂) exp(r₀ x) , k₁ Î R et k₂ Î R.

où r₀ est la racine double de l’équation : r² + b r + c = 0

3 ème cas : D < 0

Les résultats de la conclusion - 2 étendus à l’ensemble C montrent que les solutions

sont de la forme : z = k₂ exp((a + i q)x) + k₁ exp((a – i q) x) , k₁ Î C et k₂ Î C

Soit z = exp(ax) [ k₂ exp(iqx) + k₁ exp(–iqx)]

Des solutions y dans R seront obtenus en prenant la partie réelle

des solutions complexes z.

On aura donc y = Re(z) = 0,5 [z + conj(z)] Soit :

y = 0,5 exp(ax) [k₂ exp(iqx) + k₁ exp(– qx) + conj(k₂ exp(iqx) + k₁ exp(–iqx))]

y = 0,5 exp(ax) [k₂ exp(iqx) + k₁ exp(–iqx) + conj(k₂) exp(–iqx) + conj(k₁) exp(iqx)]

y = 0,5 exp(ax) [exp(iqx) [k₂ + conj(k₁)] + exp(–iqx)[k₁ + conj(k₂)]]

Posons k₁ = m + i n et k₂ = p + i q ; m, n, p et q réels.

On rappelle aussi que : exp(iqx) = cosqx + i sinqx et exp(–iqx) = cosqx – i sinqx

y = 0,5 exp(ax) [(cosqx + i sinqx)( p + i q + m – i n) + (cosqx – i sinqx)( m + i n + p – i q)]

y = 0,5 exp(ax) [(p + m ) cosqx + (n – q) sinqx) + (p + m ) cosqx + (n – q) sinqx]

y = 0,5 exp(ax) [2(p + m ) cosqx + 2(n – q) sinqx]

y = exp(ax) [(p + m ) cosqx + (n – q) sinqx]

Et en posant l =p + m et m = n – q on a : y = exp(ax) [l cosqx + m sinqx]