Propriété - 1  :

Les points M₁ , M₂ et M₃ appartiennent à un même cercle (C ) de centre W

milieu du segment [KO].

Démonstration  - 1 :

Dans l’homothétie k le cercle (C ₀) a pour image un cercle (C ) de centre W = k(O) et de rayon R.

Dans cette homothétie les points M₁ , M₂ et M₃ sont respectivement les images des points A, B et C ,

ils appartiennent donc au cercle (C ).

 :

Propriété - 2  :

Les points S₁ , S₂ et S₃ appartiennent au cercle (C ).

Démonstration  - 2 :

Notons h l’homothétie de centre K et de rapport ½ .Dans cette homothétie le cercle (C ₀)

a pour image le cercle (C’’) de centre P = h(O) et de rayon R’ :

Conclusion : (C’’) = (C’)

Dans l’homothétie h, les points S₁ , S₂ et S₃ sont respectivement les images des points

A, B et C , ils appartiennent donc au cercle (C ). C.Q.F.D.

Propriété - 3 :

Les segments [S₁ M₁] , [S₂ M₂] et [S₃ M₃] sont des diamètres du cercle (C ).

Démonstration  - 3 :

Rappels : h est l’homothétie de centre K et de rapport ½ .

k est l’homothétie de centre G et de rapport - ½

k^-1 est donc l’homothétie de centre G et de rapport - 2 (- 2 est l’inverse de - ½).

Posons f = h o k^-1. Le produit de deux homothéties étant une homothétie, f est une

homothétie de rapport a = -2 ´  ½ = -1. f est donc une symétrie centrale.

Comme f(W) = h(k^-1(W)) = h(O) = W la symétrie f a pour centre le point W.

D’autre part on a f(M₁) = h(k^-1(M₁)) = h(A) = S₁.De même f(M₂) = S₂ et f(M₃) = S₃.

Conclusion : W. est le milieu des segments [S₁ M₁] , [S₂ M₂] et [S₃ M₃]. C.Q.F.D.