Cercle des 9
points - EULER (1707 - 1783)
Notations :
Pour un triangle ABC, on note :
O le centre du cercle (C 0) circonscrit au triangle ABC (i.e. cercle passant par les trois sommets)
et R0 le rayon de ce cercle.
G son centre de gravité.
K son orthocentre.
S1 , S2 et S3 les milieux respectifs des côtés [AK], [BK] et [CK].
H1 , H2 et H3 les pieds des hauteurs respectivement issues de A, B et C.
M1 , M2 et M3 les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].
Prérequis :
Les homothéties conservent les angles et l’image d’une droite D est une image D’ parallèle à D.
Les trois hauteurs d’un triangle ABC sont concourantes en son orthocentre K.
Les trois médianes d’un triangle ABC sont concourantes en son centre de gravité G avec
Les trois médiatrices d’un triangle ABC sont concourantes en O.
Lemme :
.
Démonstration :
Notons k l’homothétie de centre G et de rapport - ½. D’après les relations (1), dans cette homothétie,
les points A, B et C ont respectivement pour images les points M1 , M2 et M3 . La droite (M2M3) est
alors l’image par k de la droite (BC), on a donc (a) : (M2M3) \\ (BC) . Notons D la médiatrice de [BC] .
On a (b) : D ^ (BC). (a) et (b) entraînent : D ^ (M2M3). D est donc une hauteur du triangle M1M2M3.
Ceci étant aussi vrai pour les deux autres médiatrices du triangle ABC,
le point O est donc l’orthocentre du triangle M1M2M3.
Les homothéties conservant les angles
l’orthocentre K du triangle ABC a pour image
Il en découle que les points K, G
et O sont alignés. C.Q.F.D.