Equation du 3^ème degré

Sujet   :

Résolution de l’équations  a x³ + b x² +c x + d = 0.

Préliminaire   :

a x³ + b x² +c x + d = 0 (1) Û x³ – m x – q = 0 (2)

Le cas m = 0 est trivial, on supposera dorénavant que m ¹ 0.

Preuve :

Il suffit de faire le changement de variable suivant : x = X + x₀

Dans (1) on obtient (3a x₀ + b)x² comme terme en x².

En posant x₀ = – b / 3a (1) équivaut à (2)

Pour la suite on posera aussi : f’(x) = x³ – m x – q

Etude de la fonction f:

f’(x) = x³ – m x – q entraîne f’’(x) = 3 x² – m

1^er cas  m positif :

x	– ¥ 0 + ¥
f ’(x)	+ 0 – 0 +
f(x)	b + ¥ – q – ¥ a

(2) a 3 solutions dans R Û ab < 0 Û 27 q² – 4 m³ < 0

(2) a une solution dans R Û ab > 0 Û 27 q² – 4 m³ > 0

(2) a 2 solutions dans R Û ab = 0 Û 27 q² – 4 m³ = 0

1^er cas  m négatif :

x	– ¥ 0 + ¥
f ’(x)	+
f(x)	+ ¥ – q – ¥

(2) a alors une seule solution dans R. m étant négatif, on peut

remarquer que la condition 27 q² – 4 m³ > 0 est vérifiée.

Conclusion :

(2) a 3 solutions dans R Û 27 q² – 4 m³ < 0

(2) a une solution dans R Û 27 q² – 4 m³ > 0

(2) a 2 solutions dans R Û 27 q² – 4 m³ = 0

L’équation (2) a donc toujours au moins une solution.