DÉNOMBREMENT

Définition - 1 :

Pour tout entier naturel n ¹ 0 on appelle « factorielle n » et on note n ! le produit

du nombre n par les entiers naturels positifs inférieurs à n. On a donc :

n ! =n ´ (n – 1) ´ (n – 2) ´ ^{. . . .} ´ 2 ´ 1

De plus, par définition, on pose : 0 ! = 1

Exemples - 1 :

3 ! = 3 ´ 2 ´ 1 = 6 , 4 ! = 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 = 24 et 5 ! = 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 = 120

Propriété - 1 :

Pour tout entier naturel n , on a : (n + 1) ! = (n + 1) ´ n !

Démonstration - 1 :

Comme n ! =n ´ (n – 1) ´ (n – 2) ´ ^{. . . .} ´ 2 ´ 1

(n + 1) ´ n ! =(n + 1) ´ n ´ (n – 1) ´ (n – 2) ´ ^{. . . .} ´ 2 ´ 1 = (n + 1) ! C.Q.F.D.

Propriété - 2 :

n ! est le nombre de façons différentes d’ordonner un ensemble de n éléments.

Démonstration - 2 :

Soit un ensemble de n éléments.

Pour choisir le 1^er élément on a n possibilités

Pour choisir le 2^ème élément on a (n – 1) possibilités

Pour choisir le 2^ème élément on a (n – 2) possibilités

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pour choisir le (n – 1) ^ème élément on a 2 possibilités

Pour choisir le n^ème (et dernier) élément on a une possibilité

On a donc n ´ (n – 1) ´ (n – 2) ´ ^{. . . .} ´ 2 ´ 1 = n ! façons différentes

d’ordonner un ensemble de n éléments. C.Q.F.D.

Définition - 2 :

Pour deux entiers naturels n et p , n ³ p ³ 1 , on appelle « arrangement n ,p »

Exemples - 2 :

Remarque - 1 :