Pour x = 72°: X = cos 72° est la valeur cherchée dans le problème et 5x = 5 ´ 72° = 360°.
On donc amené à résoudre l’équation : cos 5x = cos 360° = 1 .
Soit : 16 X5– 20 X3 + 5 X = 1 (1) avec la condition 0 < X < 1
Soit en multipliant par Y5 : 16 – 20 Y2 + 5 Y4 = Y5
Et enfin Y5 – 5 Y4 + 20 Y2 – 16 = 0 (2) avec la condition Y > 1
Posons maintenant : Z = Y – 1. On a alors Y = Z + 1 et l’équation (2) devient :
(Z + 1)5 – 5 (Z + 1)4 + 20 (Z + 1)2 – 16 = 0
Z5 + 5Z4 + 10Z3 + 10Z2 + 5Z +1 – 5 (Z4 + 4Z3 + 6Z2 + 4Z + 1) + 20 (Z2 + 2Z + 1) – 16 = 0
Z5 + 5Z4 + 10Z3 + 10Z2 + 5Z +1 – 5Z4 – 20Z3 – 30Z2 – 20Z – 5 + 20Z2 + 40Z + 20 – 16 = 0
Z5 – 10Z3 + 25Z = 0 soit Z (Z4 – 10Z2 + 25) = 0
Et enfin : Z (Z2 – 5)2 = 0 (3) avec la condition Z > 0
L’équation (3) qui a pour solutions : 
Seule 
répond à la
condition. Et on a : 
Remarques :
